Algebra Boole’a – praktyczne zastosowanie algebry

 Algebra Boole’a została wymyślona przez George Boole w 1854 roku i stanowi podstawy dzisiejszej informatyki i elektroniki. 

Algebra Boole’a jest to struktura matematyczna złożona z trzech działań binarnych:
– ∨ (lub, or, alternatywa) / lub można sobie tłumaczyć znaczy działa ono podobnie jak dodawanie
– ∧ (i, and, koniunkcja)/ odpowiednik mnożenia
– ~ (nie, not, zaprzeczenie logiczne)
oraz wyróżnionych elementów 0 (fałsz), 1 (prawda).

W algebrze Boole’a zmienne przyjmują jedną z dwóch możliwych wartości: 0 lub 1.  

   Niby to wszystko brzmi trochę dziwnie i podejrzanie ale gwarantuje, że nie ma nic bardziej przyjemniejszego i logicznego na świecie niż właśnie algebra Boole’a. To właśnie na niej bazuje przede wszystkim elektronika cyfrowa, o czym zaraz się przekonasz w dalszej części.

   Aby zrozumieć bliżej to zagadnienie zobaczmy na przykładach na czym polega tytułowa algebra. 

 Jest to tak naprawdę jak już wcześniej było wspominane algebra ta działa tylko na 1 i 0 

1 jest prawdą , w elektronice jest też uznawana za sygnał wysoki (czyli wtedy gdy pojawia się prąd na wejściu do danego układu , którego chcemy zasilić np. diody , która chcemy zapalić po wciśnięciu przycisku.

0 jest nieprawdą czyli inaczej stanem niskim ( brakiem dopływu prądu do układu , który chcemy zasilić – np. nie naciśnięciem przycisku w skutek tego nie zapaleniem się diody ). 

A tutaj przykład podstawowych działań :

V- jest to lub z matematycznego punktu widzenia działa tutaj jako znak + (dodawanie)

1V0=1 równoznaczne z 1+0=1

Natomiast znaczek  /\ jest zastąpieniem mnożenia czyli działanie 

1/\0=0 gdyż 1*0=0 

Natomiast ~  oznacza  zaprzeczenie czyli ~1=0 (zaprzeczeniem prawdy jest fałsz) 

I to by było na tyle z najważniejszych rzeczy.

No dobra niby proste ale zastanawiasz się pewnie do czego jest to potrzebne i czy w ogóle to ma jakiś sens i zastosowanie ?

Oprócz lekcji matematyki ?

    Tak się składa ,że podczas czynności codziennych te działania wykonywane są wszędzie wokół nas i być może są ukryte pod płaszczem wysokiej technologii , która sprawia, że nawet ich nie zauważasz.

    Prosty przykład? 😉    z diodą. Jeśli jeden z przycisków będzie wciśnięty to żarówka się ma zaświecić czyli musi zostać spełnione następujące prawo logiczne ,że 1 /\ 1 =1

Jeśli przycisk na rysunku zostanie wciśnięty pojawi się stan wysoki- logiczne 1 i zarówno jeśli  w tym samym czasie przycisk drugi również będzie wciśnięty to żarówka będzie się świecić (bo prąd będzie miał zamknięty obwód więc popłynie przez niego do żarówki)-czyli na wyjściu układu też będzie 1 (stan wysoki)

Skomplikujmy trochę sytuację….jeżeli przyciski będą połączone równolegle ze sobą tak jak na tym rysunku niżej:

W tej sytuacji wystarczy tylko aby jeden z kluczy (tutaj nazywam je potocznie przyciskami) został zamknięty aby przez obwód popłynął prąd i żarówka się zaświeciła.

Jest tu spełniona tzw. suma logiczna czyli jeśli 1\/ 0=1 

Powyższe przykłady tak naprawdę demonstrują działania dwóch podstawowych bramek AND i OR czyli bramki iloczynu logicznego  i sumy logicznej.

W elektronice stosuje się uproszczone schematy tych bramek 

Na rysunku niżej widać bramke AND

Niżej bramka OR wraz z tabelą prawdy czyli sygnałami wejść (A, B) oraz wyjść (Y)

 Bramki AND i OR  to jedne z podstawowych bramek , które spełniają prawo Boole’a , istnieje więcej bramek , które spełniają dalszą część algebry Boole’a np. bramka NOR czyli stanowiąca zaprzeczenie  bramki OR jak sama nazwa wskazuje NOT OR 

Wyniki działania są reprezentowane właśnie tak:

Przykłady bramek logicznych czyli urządzeń opartych właśnie na algebrze Boole’a 

Bramki w dzisiejszej technologii, a mianowicie w szeroko rozwiniętej elektronice cyfrowej pełnią bardzo ważną rolę w życiu codziennym. To dzięki bramkom logicznym można zaprojektować dany układ , który będzie realizował konkretne zadanie np. włączy jakiś czujnik lub diodę jeśli zostanie wciśnięty konkretny przycisk bądź para wybranych przycisków.

Dzięki bramkom możemy budować bardziej skomplikowane układy jak  na przykład ten niżej tzw. multiwibrator czyli układ , który przez określony czas utrzymuje stan wysoki na wyjściu – mówiąc  prościej : urządzenie , które zostanie podpięte do wyjścia Q będzie przez ten czas pracowało ,a później przez kolejny czas będzie wyłączone , aby później znów się ponownie włączyć i tak dalej …..

Obecnie algebrę Boole’a wykorzystuje się w elektronice w technologii CMOS bramki , które zostały przeze mnie przedstawione w schematach w rzeczywistości wyglądają tak :

I są to tzw. układy scalone.

__________________________________________________

Artykuł przygotowała Faustyna Misiura

Studentka elektrotechniki na Politechnice Rzeszowskiej oraz mechatroniki na Uniwersytecie Rzeszowskim. Do jej głównych zainteresowań należy elektronika i fizyka doświadczalna, a w wolnym czasie lubi też jeździć na desce snowboardowej i konno. 

Dlaczego warto zapisać się do niej na zajęcia? Jest przekonana, że ogarnianie fizyki nie jest kwestią wrodzonego talentu, ale jest to umiejętność, którą każdy może osiągnąć. Wierzy, że to, co wydaje się z pozoru trudne lub nudne jest tylko kwestią dobrego wytłumaczenia przez nauczyciela.