Matematyka podstawowa: zmiany w podstawie programowej 2025

Wprowadzone zmiany: podstawa programowa z matematyki podstawowej 2025

Już na pierwszy rzut oka możemy zauważyć wiele zmian. W dużej mierze zniknęły między innymi wielomiany, co dla maturzystów powinno być dobrą informacją, gdyż sporej części z nich temat ten sprawiał wiele kłopotów.

Jednakże trzeba spojrzeć na te modyfikacje z praktycznego punktu widzenia – dla przykładu takie umiejętności jak znajdowanie pierwiastków całkowitych wielomianów czy rozkładanie na czynniki (za pomocą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias), które teoretycznie zostały usunięte z podstawy programowej, nadal są w pewien sposób wymagane od uczniów. Wspomniane wcześniej umiejętności są nadal potrzebne w kontekście rozwiązywania zadań z funkcji kwadratowej czy wzorów skróconego mnożenia (tutaj w kontekście wyciągania wspólnego czynnika przed nawias).

Ograniczenie wyrażeń wymiernych

Również w dużym stopniu ograniczone zostały wyrażenia wymierne, z którymi maturzyści raczej dobrze sobie radzili w poprzednich latach.

Na podstawie pozostają również tylko 3 wzory skróconego mnożenia (wcześniej obowiązywało ich aż 7, a większość z nich przeszła do wymagań na poziomie rozszerzonym). Jest to też dość dobra wiadomość dla maturzystów, gdyż wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia często były trudne do zauważenia, co w konsekwencji sprawiało wiele problemów uczniom.

Dowody i nierówności

Dowody dotyczące podzielności liczb pozostają w praktyce bez zmian. Znikną za to nierówności z wartością bezwzględną, co też powinno być sporym ułatwieniem dla maturzystów. 😊

Znikną też układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe (czyli metoda podstawiania).

Przekształcenia wykresów

Widać też zmiany w punkcie dotyczącym przekształceń wykresu funkcji – wcześniej obowiązywały 4 różne przekształcenia, teraz będziemy mieli do czynienia tylko z 2. Jest to więc kolejna zmiana na plus. 👍

Ciągi pozostają w praktyce bez większych zmian.

Trygonometria

Warto zwrócić też uwagę na dział trygonometrii, z którego wiele punktów zniknęło z podstawy. Znika umiejętność przybliżania wartości funkcji trygonometrycznych korzystając z tablic lub kalkulatora, co według naszego eksperta jest zmianą na minus, ponieważ maturzyści całkiem dobrze radzili sobie z tym typem zadań, a w praktyce były to łatwe punkty. Chociaż zdajemy sobie sprawę, że wielu maturzystów ogólnie ucieszy się z tej zmiany, gdyż trygonometria to jeden z najbardziej nielubianych przez uczniów działów. 🙂

Co jeszcze istotne w kwestii trygonometrii, to MEN doprecyzowało punkt dotyczący obliczania kątów i długości boków trójkąta – wcześniej mógł być to dowolny trójkąt, teraz spotkamy się jedynie z trójkątem prostokątnym – jest to kolejna zmiana na korzyść maturzystów.

Planimetria

Zmiany możemy dostrzec również w planimetrii – wiele twierdzeń zostało wyrzuconych z podstawy – zostaje jedynie twierdzenie Talesa.

Geometria analityczna

W dziale geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej znikają między innymi: styczność do okręgu, prostopadłość do innej prostej, odległość punktu od odcinka czy znajdowanie punktów wspólnych prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej.

Rekomendowane zajęcia

Zobacz jak możemy Ci pomóc

Maturalny obóz z matematyki podstawowej Korepetycje z matematyki Kurs maturalny z matematyki

Statystyka i prawdopodobieństwo

Znika również skala centylowa, odchylenie standardowe czy wartość oczekiwana z działu rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.

Optymalizacja pozostaje bez zmian.

Podsumowanie

Podsumowując – z perspektywy osoby piszącej maturę, jest na pewno trochę mniej do powtarzania. Tak naprawdę zakres materiału został ograniczony do tego, co najczęściej się pojawia na maturze. Ograniczenie trygonometrii i wielomianów powinno być dobrą informacją dla przyszłych maturzystów. 📚💪

Zestawienie nowej i starej podstawy programowej w tabeli

Legenda:

Żółty – drobna zmiana

Czerwony – wykreślenie z podstawy programowej

Niebieski – przeniesienie z poziomu podstawowego na rozszerzony

(Stara) Podstawa programowa 2023 przed zmianami	(Nowa) Podstawa programowa 2023 po zmianach
I. Liczby rzeczywiste.
1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;	1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:  a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych, b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2;	2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:  a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych, b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej;
3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;	3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;	4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
5) stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli x<y oraz a >1, to ax<ay, zaś gdy x< y i 0 < a <1, to ax > ay;	5) stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli x<y oraz a >1, to ax<ay, zaś gdy x< y i 0 < a <1, to ax > ay;
6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;	6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
7) stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej,rozwiązuje równania i nierówności typu: |x + 4 |= 5, |x − 2| < 3, |x + 3| ≥ 4;	7) stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej,rozwiązuje równania i nierówności typu: |x + 4 |= 5
8) wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;	8) wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;
9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami nalogarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.	9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami nalogarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
II. Wyrażenia algebraiczne.
1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a-b)2, a2-b2, (a+b)3,(a-b)3, a3 -b3, an-bn;	1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a-b)2, a2-b2;
2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;	2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;	3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
4) rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przednawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niżrozkład wielomianu
5) znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
6) dzieli wielomian jednej zmiennej W(x)przez dwumian postaci x-a;
7) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;	4) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.
8) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:
III. Równania i nierówności.
1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;	1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie 5x+1 = x+32x-1;
2) interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;	2) interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe;
3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;	3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;	4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
5) rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
6) rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;	5) rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianówdoprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić dopostaci iloczynowej.
7) rozwiązuje równania wymierne postaci V(x)W(x)=0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.
IV. Układy równań.
1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretacjęgeometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;	1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretacjęgeometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;	2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.
3) rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe,a drugie kwadratowe, postaci
V. Funkcje.
1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);	1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;	2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów,wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródłainformacji lub kilku źródeł jednocześnie;	3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziałymonotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (niemniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejszewartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dlaktórych wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;	4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziałymonotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (niemniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejszewartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dlaktórych wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;	5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jejwłasnościach;	6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jejwłasnościach;
7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;	7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaciogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);	8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jejwykresie;	9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jejwykresie;
10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedzialedomkniętym;	10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedzialedomkniętym;
11) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnieńgeometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;	11) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnieńgeometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
12) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x-a), y = f(x) + b, y =-f(x), y = f(-x);	12) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x-a), y = f(x) + b;
13) posługuje się funkcją f(x) = ax, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacjizagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, równieżw zastosowaniach praktycznych;	13) posługuje się funkcją f(x) = ax, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacjizagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, równieżw zastosowaniach praktycznych;
14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.	14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
VI. Ciągi.
1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;	1) oblicza wyrazy ciągu określonego        wzorem ogólnym;
2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach:	2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;
3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;	3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;	4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
5) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciąguarytmetycznego;	5) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu;
6) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągugeometrycznego;	6) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, dorozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.	7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, dorozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
VII. Trygonometria.
1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;	1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;
2) znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lubkalkulatora;
3) znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jestwartość funkcji trygonometrycznej;
4) korzysta z wzorów sin2α + cos2α =1, tgα =sin αcos α;	2) korzysta z wzorów sin2α + cos2α =1, tgα =sin αcos α;
5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = 12absin γ;	3) stosuje twierdzenia cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = 12absin γ;
6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).	4) oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).
VIII. Planimetria.
1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinkówstycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;	1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinkówstycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danychdługościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;	2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danychdługościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;	3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach,rombach i trapezach;	4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach,rombach i trapezach;
5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;	5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;	6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
7) stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;	7) stosuje twierdzenie Talesa;
8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;	8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;	9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;	10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurachpłaskich oraz obliczania pól figur;	12) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.
12) przeprowadza dowody geometryczne.	11) przeprowadza dowody geometryczne;
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań,w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;	1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);	2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej);
3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;	3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
4) posługuje się równaniem okręgu (x-a)2+(y-b)2=r2;	4) posługuje się równaniem okręgu (x-a)2+(y-b)2=r2;
5) oblicza odległość punktu od prostej;
6) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresemfunkcji kwadratowej;
7) wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osiukładu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).	5) wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).
X. Stereometria.
1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności prosteprostopadłe nieprzecinające się;	1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności prosteprostopadłe nieprzecinające się;
2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kątadwuściennego między półpłaszczyznami;	2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np.krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miarytych kątów;	3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
4) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;	4) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
5) określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;	5) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii;
7) wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.	6) wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
XI. Kombinatoryka.
1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;	1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnejliczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:  a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnichtakich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1i dokładnie jedna cyfra 2, b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnichtakich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0i dokładnie jedna cyfra 1.	2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnejliczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:  a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnichtakich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1i dokładnie jedna cyfra 2, b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnichtakich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0i dokładnie jedna cyfra 1.
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;	1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
2) stosuje skalę centylową;
3) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;	2) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.
4) oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danychodpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych;
5) oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostychgrach losowych i loteriach.
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
1) rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.	1) rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Pobierz darmowego ebooka

Chemia – najczęściej popełniane błędy na maturze

Pobierz ebook

Pobierz darmowego ebooka

Matematyka PP – najczęściej popełniane błędy na maturze

Pobierz ebook