Ruch harmoniczny – szczególny przypadek ruchu drgającego

Drgania mechaniczne można opisać jako ruch ciała na przemian w tę i z powrotem. Szczególnym przypadkiem ruchu drgającego jest ruch harmoniczny. Czym właściwie się on charakteryzuje? Ruch harmoniczny jest ruchem okresowym co oznacza, że powtarza się on w regularnych odstępach czasu. Kolejnymi cechami tego szczególnego rodzaju drgań zajmiemy się przy opisywaniu go za pomocą matematyki. 

Częstotliwość i okres drgań

Częstotliwość drgań jest to liczba pełnych drgań (cykli) wykonywanych w ciągu każdej sekundy. Oznaczamy ją małą grecką literą ν (ni) lub małą literą f (ang. frequency), ja personalnie preferuje oznaczenie f. Jej jednostką w układzie SI [fr. Système international d’unités (międzynarodowy system jednostek)] jest herc (Hz).

Okres drgania jest to czas w jakim wykonywane jest jedno pełne drganie.                                   

Oznaczamy go dużą literą T. Jednostką okresu jest sekunda (s). Pomiędzy częstotliwością f, a okresem T zachodzi następująca zależność:

Równania ruchu

Funkcję przemieszczenia od czasu w ruchu harmonicznym opisujemy wzorem:

Funkcja na początku wydaje się skomplikowana, lecz popatrzmy na nią od strony matematycznej, a dokładniej przekształceniami – w tym momencie wszystko się klaruje. Wykonajmy szereg przekształceń prowadzących do powyższej funkcji. Wyjściową funkcją będzie x(t)=cos⁡(t).

Rekomendowane zajęcia

Zapraszamy na korepetycje indywidualne z fizyki

Korepetycje z fizyki

Wnioski z przekształceń:

Po wykonaniu przekształceń możemy dojść do pewnych wniosków. 

• xm jest amplitudą drgań. W zależności od wartości wykres xt  będzie się zachowywał w następujący sposób – zmieniał będzie ekstrema funkcji. Czym większe xm, tym większa amplituda drgań.

• ω manipuluje częstotliwością  drgań. W zależności od wartości wykres xt będzie zachowywał się w następujący sposób. Czym większa tym większa częstotliwość drgań. Jest to częstość kołowa, czyli prędkość wykonywania pełnych drgań na jednostkę czasu. Jej jednostką w układzie SI jest rad/s  (radian/sekundę). 

• ϕ jest przesunięciem wykresu. Stała ϕ jest nazywana fazą początkową. Występuje ona w równaniu po to, by opisywało ono ruch ciała niezależnie od tego, gdzie się ono znajdowało w chwili, którą wybierzemy za początkową. Krótko mówiąc jest to określenie miejsca początkowego ciała, kiedy jest ono różne od miejsca stanu równowagi.

Wyprowadzenie wzoru na częstość kołową :

Aby wyprowadzić wzór na częstość kołową skorzystajmy ze wzoru funkcji przemieszczenia od czasu w ruchu harmonicznym x(t)= xmCos⁡(ωt+ϕ) oraz faktu, że ciało po wykonaniu pełnego drgania o okresie T wróci do swojego x _{początkowego}. Dla uproszczenia obliczeń załóżmy, że ϕ=0.

W takim razie zapiszmy: 

Jakim wzorem opiszemy funkcję prędkości od czasu w ruchu harmonicznym?

Wzór bardzo prosty do wyprowadzenia jeśli wiemy, że prędkość jest pochodną przemieszczenia po wymiarze czasu, stąd:

Obliczając pochodną funkcji przemieszczenia od czasu korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:

Wnioski płynące ze wzoru:

Korzystając z wyciągniętych przez nas wcześniej wniosków o funkcji przemieszczenia od czasu rozłóżmy na czynniki pierwsze wzór na funkcję prędkości od czasu.

• -ωxm wyznacza zakres zmian prędkości. Jest to amplituda cosinusoidy obrazującej zależność prędkości od czasu w ruchu harmonicznym. 
•  ω(leżąca przy t) wyznacza częstotliwość drgań, a ϕ jest przesunięciem wykresu względem osi OX, analogicznie do wzoru funkcji zależności przemieszczenia od czasu.

Funkcję przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym opisujemy wzorem: 

Wzór ten jest również prosty do wyprowadzenia ze względu na to, że jest to podwójnie zróżniczkowana funkcja przemieszczenia od czasu lub pojedynczo zróżniczkowana funkcja prędkości od czasu w ruchu harmonicznym. Różniczkując korzystamy z podanego już wyżej wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Wnioski płynące ze wzoru:

• -ω²x_m wyznacza zakres zmienności przyspieszenia. Jest to amplituda sinusoidy obrazującej zależność przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym.
• ω (leżąca przy t) wyznacza częstotliwość drgań, a jest przesunięciem wykresu względem osi OX, analogicznie do wzoru funkcji zależności przemieszczenia od czasu.

Po wyprowadzeniu wzoru funkcję przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym możemy zauważyć następującą zależność:

Wynikają z niego pewne charakterystyczne cechy ruchu harmonicznego:

• Przyspieszenie ciała jest w każdym momencie przeciwnego znaku niż jego przemieszczenie (odpowiedzialny jest za to znak minus we wzorze),
• Wielkości te (przemieszczenie i przyspieszenie) są do siebie proporcjonalne, a ich proporcja wynosi -ω².

Ważna uwaga:

Zaznaczyć też trzeba, że w różnych źródłach podawane są inne wersje wzorów funkcji przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia od czasu. Wszystkie zmiany wywodzą się od jednej, a mianowicie zmiany funkcji trygonometrycznej z sinusa na cosinus we wzorze funkcji przemieszczenia od czasu (zmieniają się przez to wykresy funkcji prędkości i przyspieszenia od czasu, ponieważ są to pochodne x(t)). x t= x_msin (ωt+ϕ) lub x( t)= x_mcos (ωt+ϕ) . Zmiana wynika z wyboru miejsca ciała w chwili początkowej x0=0. Jeśli we wzorze funkcji przemieszczenia od czasu mamy funkcję sinus oznacza to, że miejscem początkowym ciała jest miejsce równowagi, przy ϕ=0. Jeśli w owym wzorze widnieje funkcja cosinus to znaczy, że za punktem początkowym przy ϕ=0 jest najwyższe lub najniższe położenie ciała. Jest tak, ponieważ funkcje te są względem siebie przesunięte o wektor , więc na przykład sin(0) = 0, a cos(0) = 1. 

Możemy to również pokazać obliczając za pomocą obu wzorów położenia w chwili początkowej t = 0 i ϕ=0; x ₁0= x_msin (0) = 0, podczas gdy x₂ 0= x_mcos (0) = x_m. 

Siła w ruchu harmonicznym

Siłę w ruchu harmonicznym opisujemy wzorem:

Znając zależność przyspieszenia od czasu możemy bezproblemowo wyprowadzić wzór na siłę w ruchu harmonicznym. W tym celu skorzystamy z drugiej zasady dynamiki Newtona:

Znając prawo Hooke’a, gdzie również mamy związek siły z przemieszczeniem, w postaci następującej:

możemy powiązać stałą sprężystości k z iloczynem masy i kwadratu częstości kołowej ciała:

m2

Z tego związku możemy wyznaczyć częstość kołową, która jest często bardziej przydatna niż stała k:

Sens fizyczny powyższego równania:

Jesteśmy w stanie zauważyć, że duża częstość kołowa ω, a zatem mały okres T występuje w przypadku sztywnej sprężyny (duże k) i lekkiego klocka (małe m).

Przydatne cechy ruchu harmonicznego:

1. Największa wartość prędkości ciała w ruchu harmonicznym jest wtedy, gdy ciało przechodzi przez punkt równowagi x0. 
2. Największa wartość przyspieszenia w ruchu harmonicznym jest w granicznych położeniach ciała, natomiast najmniejsza wartość przyspieszenia jest, gdy ciało przechodzi przez punkt równowagi x0.

Rekomendowane zajęcia

Zobacz jak możemy Ci pomóc

Korepetycje z fizyki Korepetycje z matematyki Kurs maturalny z matematyki Wakacyjny Obóz Maturalny – Matematyka

Matura Kwiecień 2020, zadanie 10

Zadanie 1

Na lekkiej sprężynie, zwisającej pionowo na niewielkiej wysokości nad ziemią (rysunek 1.),
zawieszono ciężarek o masie 0,2 kg (rysunek 2.). Ciężarek początkowo zwisa swobodnie,
a sprężyna jest rozciągnięta w kierunku pionowym. Następnie ciężarek wychylono w kierunku
pionowym z położenia równowagi sił, po czym puszczono. Skutkiem tego został on wprawiony
w drgania wzdłuż osi pionowej (rysunki 3., 4. i 5.). Odległość pomiędzy skrajnymi położeniami
drgającego ciężarka była równa 12 cm, a czas jednego pełnego cyklu drgań wynosił 2,5 s.

Zadanie 1.1 (0-1)

Wyznacz i zapisz czas, jaki upłynął od chwili, gdy ciężarek osiągnął skrajne położenie, do
najbliższej chwili, gdy jego energia kinetyczna osiągnęła wartość maksymalną.

Zadanie 1.2 (0-2)

Oblicz maksymalną wartość energii kinetycznej drgającego ciężarka.

Zadanie 1.3 (0-3)

Oblicz maksymalną wartość siły sprężystości, jaka działa na ciężarek w tym ruchu
drgającym.

Zobacz odpowiedź

Zadanie 1.1 (0-1)

Energia kinetyczna ma największą wartość w punkcie równowagi, ponieważ wysokość h jest względem tego punktu równa 0, a z zasady zachowania energii mechanicznej wiemy, że są to wielkości komplementarne, więc jeśli E_potencjalna = 0 to E_kinetyczna jest maksymalna.

Podstawowy przykład ruchu drgającego możemy podzielić na 4 części:

1. Ruch od punktu początkowego do maksymalnego wychylania o współrzędnej dodatniej.
2. Ruch od maksymalnego wychylania o współrzędnej dodatniej do punktu początkowego.
3. Ruch od punktu początkowego do maksymalnego wychylania o współrzędnej ujemnej.
4. Ruch od maksymalnego wychylania o współrzędnej ujemnej do punktu początkowego.

Cały ten ruch trwa okres T, a każda jego część trwa tyle samo. Stąd czas jaki upłynie od maksymalnego do zerowego wychylenia, wynosi ćwierć okresu.

Zadanie 1.2 (0-2)

Zadanie 1.3 (0-3)