Naukowców Dwóch Blog Zderzenia sprężyste i niesprężyste w jednym i dwóch wymiarach – wykorzystanie zasady zachowania pędu i zasady zachowania energii.

Zderzenia sprężyste i niesprężyste w jednym i dwóch wymiarach – wykorzystanie zasady zachowania pędu i zasady zachowania energii.

W tej lekcji będziemy rozważali przyjemne zagadnienie jakim są zderzenia.

Na sam początek podajmy założenia odnośnie analizowanych układów ciał:

  • Będziemy analizowali układy ciał, a nie ciała z osobna.
  • Układy są izolowane, co znaczy, że energia nie może być z niego odebrana ani do niego dostarczona.
  • Układy są zamknięte co znaczy, że wypadkowa sił zewnętrznych na niego działająca jest równa 0.

Rodzaje zderzeń

Jeśli podczas zderzenia energia układu została zachowana, co znaczy, że nie zmieniła się ona w wyniku zderzenia, to takie zderzenie nazywamy zderzeniem sprężystym. Nie towarzyszy mu np. efekt odkształcenia, wytworzenia ciepła lub dźwięku (lub są to pomijalnie małe zmiany energii).

Opozycyjnie, jeśli energia układu nie jest zachowana mamy do czynienia ze zderzeniem niesprężystym.

Zderzenie, po którym ciała są ze sobą złączone nazywane jest zderzeniem całkowicie niesprężystym. Przykładem może być zderzenie kija baseballowego z plastelinową kulką.

Prędkość środka masy

Prędkość środka masy układu zamkniętego i izolowanego nie może się zmienić w wyniku zderzenia, ponieważ wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ, które mogłyby to sprawić jest równa 0.

Przeanalizujmy teraz układ dwóch ciał oraz ich zderzenie w jednym wymiarze. Przedstawmy całkowity pęd układu dwóch ciał w następujący sposób:

(1.1)

Wzór ogólny zasady zachowania pędu w przypadku układu dwóch ciał przedstawiamy następującą:

(1.2)

Pęd całkowity jest równy każdej ze stron powyższego równania. Podstawmy więc pod  lewą jego

stronę:

(1.3)

Przyrównajmy do siebie równania (1.1) oraz (1.3) oraz przekształćmy względem VŚM :

Prawa strona tego równania jest stała, więc prędkość średnia środka masy układu również jest stała.

Oznacza to też, że zderzenie nie wpływa na położenie środka masy układu zamkniętego i izolowanego.

Rekomendowane zajęcia

Zapraszamy na korepetycje indywidualne z fizyki

Zderzenia w jednym wymiarze

Niesprężyste:

Rozważmy zderzenie w układzie dwóch ciał. Jako, że układ jest zamknięty możemy zastosować zasadę zachowania pędu w następującej postaci:

Jako, że ruch odbywa się tylko w jednym wymiarze możemy opuścić wektory i zająć się tylko składowymi. Przekształćmy równanie korzystając z zależności p = mv:

Całkowicie niesprężyste:

Na potrzeby lepszego zrozumienia wyobraźmy sobie pewne zderzenie. Ciało m1 porusza się z prędkością v1 w kierunku ciała m2, które się nie porusza. Po zderzeniu i złączeniu się ciał (ponieważ jest to zderzenie całkowicie niesprężyste) poruszają się one z prędkością V. Zapiszmy w takim razie zasadę zachowania pędu dla tego przypadku:

Czyli:

Zwróć uwagę, że zawsze będzie mniejsza od v1pocz, ponieważ ułamek m1 / m1 + m2 jest zawsze mniejszy od 1.

Sprężyste, gdy jedno z ciał przed zderzeniem się nie porusza:

Zacznijmy od ważnego faktu: energia kinetyczna każdego ze zderzających się sprężyście ciał może się zmienić, jednakże zmianie nie może ulec całkowita energia kinetyczna układu tych ciał.

Przykładem takiego zderzenia w życiu jest zderzenie dwóch kul bilardowych. Można w tym przypadku uznać, że w przybliżeniu energia kinetyczna zderzających się ciał jest zachowana. Słysząc odgłos zderzenia możemy jednak wyciągnąć wniosek, że niewielka część energii jest przekształcana w energię akustyczną.

Wyobraźmy sobie zderzenie dwóch ciał m1 i m2 . Ciało m1 porusza się z prędkością v1 , a ciało m2 pozostaje w spoczynku. Mamy do czynienia z układem zamkniętym i izolowanym, a więc możemy zapisać równanie zasady zachowania pędu dla tego układu:

Jako, że jest to zderzenie sprężyste to energia kinetyczna układu jest również zachowana. Zapiszmy więc:

Aby wyznaczyć prędkości końcowe ciał zapiszmy powyższe dwa równania następująco:

Dzielimy powyższe równania stronami, wyznaczamy v1końc oraz v2końc i otrzymujemy:

Rozważmy szczególne przypadki zderzeń opisywanych powyższymi równaniami:

  1. Ciała mają jednakowe masy. Jeśli m1 = m2 to powyższe równania przyjmują postać:

Przy zderzeniu czołowym ciała „wymieniają się” prędkościami. Jest to też prawdziwe, gdy ciało m2 nie jest początkowo nieruchome.

  1. Ciało m2 o bardzo dużej masie. Jeśli m2 ma o wiele większą masę niż m1, to powyższe równania przyjmują postać:

Wynika z tego, że ciało m1 odbija się od ciała m2 praktycznie bez zmiany prędkości, a ciał m2 porusza się do przodu, jednak z bardzo małą prędkością.

  1. Ciało m1 o bardzo dużej masie. Jeśli m1 ma o wiele większą masę niż m2, to powyższe równania przyjmują postać:

Wynika z tego, że ciało m1 porusza się praktycznie z tą samą prędkością, a ciało m2 z dwukrotnie większą od ciała m1.

Sprężyste, gdy obydwa ciała przed zderzeniem się poruszają:

Wyobraźmy sobie, że dwa ciała poruszają się naprzeciwko siebie i zderzają się czołowo. Zapiszmy równania zasady zachowania pędu oraz zasady zachowania energii:

Wyznaczmy prędkości końcowe obydwu ciał:

Zauważ, że przypisanie ciałom wskaźników 1 i 2 jest dowolne i nie zmienia tych równań.

Zderzenia w dwóch wymiarach

Jeśli zderzenie ciał nie zachodzi na wspólnej osi mamy do czynienia ze zderzeniem w dwóch wymiarach.

Przy opisywaniu zderzenia w dwóch wymiarach wygodnie jest rozpisać równania zasadę zachowania pędu względem osi X i Y.

Względem osi X:

α – kąt tworzony przez kierunek ruchu ciała m1 względem osi X.

β – kąt tworzony przez kierunek ruchu ciała m2 względem osi X.

Względem osi Y:

α – kąt tworzony przez kierunek ruchu ciała m1 względem osi Y.

β – kąt tworzony przez kierunek ruchu ciała m2 względem osi Y.

Teraz zapiszmy zasadę zachowania energii:

Powyższe równanie jest nam potrzebne tylko w celu wyznaczenia prędkości końcowych obydwu ciał, a więc nie musimy zawierać w równaniu kąta pod jakimi są prędkości względem osi X oraz Y.

Jeśli znamy przynajmniej 4 wielkości z 7 zmiennych pozostałe możemy wyznaczyć za pomocą powyższych równań.

Matura Maj 2017, zadanie 2

Zadanie 1

Podczas centralnego sprężystego zderzenia gładkiej kuli z taką samą kulą spoczywającą
wymieniają się one prędkościami, tzn. kula uderzająca się zatrzymuje, a uderzona odskakuje
z prędkością, jaką miała kula uderzająca. Gdy zderzenie jest sprężyste, ale niecentralne,
zachodzi sytuacja przedstawiona na poniższym rysunku. Zaznaczono dwa kolejne położenia
kuli K1 (po prawej stronie – tuż przed zderzeniem, a kula K2 wtedy spoczywała). Możemy
rozpatrywać ruch każdej z kul jako złożenie ruchu wzdłuż osi I oraz ruchu wzdłuż
prostopadłej do niej osi II. Ruch wzdłuż osi I przebiega tak jak w zderzeniu centralnym,
a składowe prędkości każdej z kul wzdłuż osi II nie zmieniają się podczas zderzenia.

Zadanie 1.1 (0-2)

Na podanym rysunku rozłóż wektor prędkości kuli K1 przed zderzeniem na składowe
wzdłuż kierunków I i II. Narysuj linią ciągłą tory ruchu obu kul po zderzeniu.

Zadanie 1.2 (0-1)

Aby uzasadnić twierdzenie, że podczas zderzenia sprężystego niecentralnego składowe
prędkości każdej z kul wzdłuż osi II się nie zmieniają, wystarczy skorzystać z tego, że


A. spełniona jest zasada zachowania pędu.
B. spełniona jest zasada zachowania energii kinetycznej.
C. siła wzajemnego oddziaływania kul jest skierowana wzdłuż osi I.
D. siła wzajemnego oddziaływania kul jest skierowana wzdłuż osi II.

Zobacz odpowiedź

Zadanie 1.1 (0-2)

Zadanie 1.1 (0-1)

Poprawna odpowiedź: C.

 

Autor posta

Aleksander Krzyślak
Cześć, jestem Aleksander, uczęszczam do XXI LO im. Kołłątaja w Warszawie. Pasjonuję się fizyką, a szczególnie kwantową. Moją pasją są również fotografia, motoryzacja i żeglarstwo. W przyszłości chciałbym zostać specjalistą ds. cyberbezpieczeństwa.
Zapisz się do newslettera

Otrzymuj powiadomienia o artykułach naukowców.



    Wysyłając formularz oświadczasz, że zapoznałeś się z naszą polityką prywatności i ją akceptujesz.
    Zapisz się do newslettera